Анастасия, добрый день.
То что договора нет на руках - понятно, а документы подтверждающие передачу денег? Если они есть, то можно попробовать через общество защиты прав потребителей (или адвоката, или хорошего юриста) для начала, добиться копии договора от агентства. Дальше надо читать договор и смотреть что там прописано, какие услуги они Вам оказывают. И вот уже потом решать куда двигаться дальше. Ведь вполне возможно, что в договоре прописаны только информационные услуги по поиску вариантов, тогда с агентства и спросить нечего.
Договор на аренду, как правило, заключается с владельцем квартиры и почему агентство его забрало не понятно.
В любом случае это процесс долгий неприятный и без хороших юристов здесь не разобраться.
Поскольку Вы в Питере, то попробуйте переговорить с Матушкиным Андреем, может быть что-нибудь придумаете.
А письменная договоренность о том, что она обязуется устранить некоторые недоделки в квартире?
Если есть данный документ, то он уже является доказательством Ваших отношений с хозяйкой квартиры.